Пятый постулат. Ах, как много смысла в этом коротком словосочетании! Однако, для неискушенного читателя это требует некоторого пояснения.
Так вот. Геометрия - это раздел математики, а там, где математика - там точность. Там все следует одно из другого, сложные теоремы строятся из простых как здания из кирпичиков. Но у каждого здания, как вы знаете, есть свой фундамент - в нашем случае фундаментом будет набор утверждений, которые мы будем принимать на веру. Без доказательства, вообще.
В отличие от архитектуры, в математике фундамент будет тем прочнее, чем меньше в нём кирпичиков, а именно - утверждений, которые мы принимаем на веру, постулатов.
Евклид, знаменитый математик древности, чей портрет вы видите перед собой, использовал следующие постулаты:
- Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.
- И чтобы каждую прямую линию можно было неопределенно продолжить
- И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом
- И чтобы все прямые углы были равны.
- И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.
Заметно, что пятый постулат очень выделяется на фоне остальных - он выглядит гораздо сложнее. Это самое заметили математики и пытались доказать пятый постулат, используя предыдущие четыре. Если бы им это удалось сделать, то этот постулат был бы вычеркнут из почетного списка и все постулаты геометрии были бы короткими и красивыми.
Однако, за 20 веков, от Евклида до 19го века, никому так и не удалось доказать этот пятый постулат! Более того, в 19ом веке была построена геометрия, в которой вместо нашего пятого постулата был другой, его исключающий.
А между тем, ученые очень старались доказать пятый постулат и в своих стараниях зашли весьма далеко! Ниже приведен список утверждений, которые эквивалентны пятому постулату:
- Через каждую точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная данной.
- Две прямые при пересечении их третей образуют равные соответственные углы.
- Сумма углов треугольника равна 180 градусам.
- Точки, расположенные по одну сторону от данной прямой на одном и том же расстоянии, образуют прямую.
- Расстояния от точек одной из двух параллельных прямых до второй ограничены в своей совокупности.
- Существуют треугольники с произвольно большой площадью.
- Существуют подобные треугольники.
Материал приготовлен с помощью книги "Высшая геометрия" автора Ефимова Николая Владимировича.
