Барицентрические координаты. Смежная грань геометрии и механики.

Помнится, когда я впервые встретил на пути познания полярные координаты, я был очень удивлен, что иногда удобней использовать нечто отличное от традиционных декартовых координат. Был удивлён и вместе с тем немного доволен собой, что теперь я знаю нечто совершенно особое, и, пардон за яркий эпитет, абсолютно неизведанное. Когда же входе дальнейшего продвижения по научной стезе я встретил цилиндрические, сферические, тороидальные координаты, я подумал, что о координатах я знаю всё. Когда же я узнал, что есть такая штука, как обобщённые координаты (о них при желании можно прочитать в википедии), моя уверенность в том, что о координатах я знаю всё многократно подкрепилась.

Так я жил со своей уверенностью и жил, до тех пор, пока не увидел статью о барицентрических координатах. Признаться, когда я её увидел, я подумал что-то вроде: "А, ничего интересного. Ввели какие-то обобщенные координаты и так их обозвали." Ан-нет! Барицентрические координаты совершенно особые и не похожи ни на какие другие!

В основе этих координат лежат ни координатные оси, ни полярные лучи, а... массовый треугольник.

Ну-с, интригу я добавил, теперь можно писать подробно и основательно.
Для начала, дорогие читатели, я напомню, что такое центр масс системы материальных точек. Не мудрствуя лукаво, сразу напишу страшную формулу.

Хотя нет, придётся помудрствовать... уж больно формула страшна. Итак, допустим, мы имеем n материальных точек, расположенных в пространстве произвольным образом. Положение точки в пространстве задаётся радиус-вектором ri, а масса - mi. Так как в этом блоге мы математики, то мы будем считать, что бывают точки с отрицательной массой. Проведя суммирование в правой части равенства, получим некоторый радиус-вектор. При условии, конечно, что знаменатель нашей дроби не будет равняться нулю. Этот самый вектор будет указывать на точку, которую будем называть центром масс.

Теперь к делу. Итак, пусть у нас на плоскости задан треугольник ABC. Будем говорить, что точка Z плоскости имеет координаты a, b, c, если она является центром масс материальных точек, расположенных в точках A, B и C и имеющих массы a, b и c. Такая вот петрушка.

Интересно, что некоторые замечательные точки треугольника имеют очень даже замечательные барицентрические координаты. Приведу их без доказательства.

Точка пересечение медиан имеет координаты (1, 1, 1).

Точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности) - координаты (sin a, sin b, sin j), где a, b, j - углы треугольника.

Точка пересечения высот - (tg a, tg b, tg j)

Центр описанной окружности - (sin 2a, sin 2b, sin 2j)

Теорема Чевы. Простое доказательство и широкая применимость.

Помню, в школе мы доказывали, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. И что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Более того, высоты и серединные перпендикуляры треугольника тоже обладают тем же свойством.
Вот только доказывались эти теоремы.... как? Да в том-то и дело, что каждая из них доказывалась как-то по-своему, у каждой из них был свой способ.

Я хочу показать вам, дорогие читатели, единый способ доказательства этих теорем. Доказательства, использующего теорему Чевы.
Вот её формулировка:

Пусть точки A',B',C' лежат на прямых BC,CA,AB треугольника . Прямые AA',BB',CC' пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Прежде чем перейти к доказательству, замечу, что равенство в формулировке не такое уж заумное и трудно запоминающееся, как может показаться на первый взгляд. Действительно, чтобы получить это равенство, нам достаточно выбрать произвольную вершину треугольника, например, B, и начать обходить треугольник по часовой стрелке. Обойдя треугольник, мы пройдём по каждому из отрезков как раз в той последовательности, в которой они встречаются в равенстве.

Доказательство.

Прямая теорема.

С одной стороны,
SAOB'/SCOB' =AB'/B'C
С другой стороны, это же отношение площадей равно отношению высот треугольников AOB' и COB', проведенных к основанию OB', равно как и отношение площадей треугольников AOB и COB.

Таким образом, AB'/B'C = SAOB/SCOB.

Записав аналогичные равенства для отношений CA'/A'B и AC'/C'B и затем перемножив их всех, получим требуемое утверждение.

Обратная теорема.

Итак, допустим, у нас выбраны точки A', B', C' на сторонах треугольника и выполняется равенство из условия.
Пусть AA' и BB' пересекаются в точке О. Проведем прямую СО и пусть она пересекает сторону AB в некоторой точке C''. Тогда, согласно прямой теореме, у нас будет выполняться то самое огромное равенство, в котором вместо точки C' будет точка C''. Исходя из выполнения этих двух равенств - с точкой C'', как мы показали, и с точкой C' из условия обратной теоремы, делаем вывод, что точки C'' и C' совпадают.


Можно записать условие Чевы в форме синусов:

Это условие легко получить, применив теорему синусов к треугольникам ABA' и ACA'. Для них получаем A'B/AA'= sinBAA' /sinABA' и A'C/AA'=sinA'AC/sinA'CA. Разделив одно равенство на другое, получаем A'B/A'C=sinBAA' /sinA'AC * (sinBCA/sinABC )

Записав аналогичные равенство для остальных отрезков и перемножив их, получаем условие Чевы в форме синусов.



Согласно теореме Чевы, то, пересечение медиан треугольника в одной точке - доказывается в одну строчку.
Согласно теореме Чевы в форме синусов, пересечение биссектрис в одной точке доказывается в одну строчку.
А вот доказательство того, что высоты треугольника пересекаются в одной точке - это, согласно теореме Чевы в форме синусов, доказывается в две строчки. В первой строчке доказательства нам следует написать известное тригонометрическое тождество -
sin(90 - a) = cos a

Двойственность в проективной геометрии.

Хм. Проективная геометрия. Что это за зверь?
Думаю, сильно не совру, если скажу, что проективная геометрия - это геометрия проективного пространства.

А что же такое проективное пространство? А это очень красивое дополнение обычного, евклидового пространства. Евклидово пространство дополняется набором бесконечно удаленных точек, так называемых проективных точек. Каждому семейству параллельных прямых ставится в соответствие одна проективная точка, и говорится, что это семейство прямых пересекается в этой точке. Так, на рисунке точки A, B и C являются проективными точками для разных семейств параллельных прямых. На одной плоскости существует множество семейств параллельных прямых. Будем говорить, что все проективные точки, соответствующие семействам параллельных прямых одной плоскости, образуют проективную прямую.
И, наконец, множество всех проективных прямых образует проективную плоскость.

Что же хорошего в проективной геометрии?
Один из самых красивых её плодов - это принцип двойственности.
Заключается он в том, что если утверждение А верно, то будет верно и утверждение A', которое получится из А, если в нём заменить слово "точка" на слово "плоскость" и слово "плоскость" на слово "точка".

Например, все мы знаем утверждение -
Через прямую и точку, не лежащую на ней, можно провести плоскость, и при том только одну.
Двойственное - прямая и плоскость, не содержащая её, имеют ровно одну общую точку. При этом, эта общая точка будет проективной точкой прямой!

Ещё пример. Через всякие две точки можно провести единственную прямую. Двойственное утверждение - всякие две плоскости пересекаются по прямой. При этом, в случае параллельных плоскостей, нас выручает проективная прямая!

Ещё. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и при том, только одну. Двойственное - всякие три плоскости, не имеющие общей прямой, пересекаются в одной точке.
При этом исключительный случай с тремя параллельными плоскостями больше не исключительный, так как три параллельных плоскости имеют общую проекционную прямую.

Умение правильно ставить вопрос или плоды просвещения.

Порой неудачно поставленный вопрос портит всю красоту задачи. Для того, чтобы сиё громкое утверждение не было пустым звуком, предлагаю рассмотреть две очень похожие задачи.







Задача 1.
Доказать, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке.

Задача 2.
Доказать, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и эта точка делит их в отношении 3:1, считая от вершины.

Напомню, что медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противолежащей стороны.

Несмотря на то, что вторая задача просит доказать более сильное утверждение, решается она гораздо проще. Если неискушенному читателю придётся поломать голову над задачей 1, то задача 2 решается "в лоб" координатным методом. Просто обозначаем координаты вершин тетраэдра за (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3), (x4, y4, z4) и находим координаты точек, делящих каждую медиану в отношении 3:1. Это не трудно, благо медиана есть половина диагонали параллелограмма, построенного на двух сторонах треугольника. А потом с удивлением обнаруживаем, что для всех четырёх медиан эта точка имеет одни и те же координаты, следовательно, медианы тетраэдра пересекаются в одной точке.

Мораль сей сказки такова - граждане, при составлении красивой задачи, не вкладывайте лишней информации в вопрос :)

На самом деле, геометрия проста.

Да, геометрия проста. Со столь оптимистичной ноты начинается мой блог.

Простоту геометрии придумал не я, а знаменитый математик Джон фон Нейман, который однажды сказал:

«Если люди не верят в то, что математика проста, то это оттого, что они не осознают, насколько сложна жизнь»

А к геометрии, подразделу математики, это жизнерадостное утверждение применимо на все 120%.