Двойственность в проективной геометрии.

Хм. Проективная геометрия. Что это за зверь?
Думаю, сильно не совру, если скажу, что проективная геометрия - это геометрия проективного пространства.

А что же такое проективное пространство? А это очень красивое дополнение обычного, евклидового пространства. Евклидово пространство дополняется набором бесконечно удаленных точек, так называемых проективных точек. Каждому семейству параллельных прямых ставится в соответствие одна проективная точка, и говорится, что это семейство прямых пересекается в этой точке. Так, на рисунке точки A, B и C являются проективными точками для разных семейств параллельных прямых. На одной плоскости существует множество семейств параллельных прямых. Будем говорить, что все проективные точки, соответствующие семействам параллельных прямых одной плоскости, образуют проективную прямую.
И, наконец, множество всех проективных прямых образует проективную плоскость.

Что же хорошего в проективной геометрии?
Один из самых красивых её плодов - это принцип двойственности.
Заключается он в том, что если утверждение А верно, то будет верно и утверждение A', которое получится из А, если в нём заменить слово "точка" на слово "плоскость" и слово "плоскость" на слово "точка".

Например, все мы знаем утверждение -
Через прямую и точку, не лежащую на ней, можно провести плоскость, и при том только одну.
Двойственное - прямая и плоскость, не содержащая её, имеют ровно одну общую точку. При этом, эта общая точка будет проективной точкой прямой!

Ещё пример. Через всякие две точки можно провести единственную прямую. Двойственное утверждение - всякие две плоскости пересекаются по прямой. При этом, в случае параллельных плоскостей, нас выручает проективная прямая!

Ещё. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и при том, только одну. Двойственное - всякие три плоскости, не имеющие общей прямой, пересекаются в одной точке.
При этом исключительный случай с тремя параллельными плоскостями больше не исключительный, так как три параллельных плоскости имеют общую проекционную прямую.