Теорема Чевы. Простое доказательство и широкая применимость.

Помню, в школе мы доказывали, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. И что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Более того, высоты и серединные перпендикуляры треугольника тоже обладают тем же свойством.
Вот только доказывались эти теоремы.... как? Да в том-то и дело, что каждая из них доказывалась как-то по-своему, у каждой из них был свой способ.

Я хочу показать вам, дорогие читатели, единый способ доказательства этих теорем. Доказательства, использующего теорему Чевы.
Вот её формулировка:

Пусть точки A',B',C' лежат на прямых BC,CA,AB треугольника . Прямые AA',BB',CC' пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Прежде чем перейти к доказательству, замечу, что равенство в формулировке не такое уж заумное и трудно запоминающееся, как может показаться на первый взгляд. Действительно, чтобы получить это равенство, нам достаточно выбрать произвольную вершину треугольника, например, B, и начать обходить треугольник по часовой стрелке. Обойдя треугольник, мы пройдём по каждому из отрезков как раз в той последовательности, в которой они встречаются в равенстве.

Доказательство.

Прямая теорема.

С одной стороны,
SAOB'/SCOB' =AB'/B'C
С другой стороны, это же отношение площадей равно отношению высот треугольников AOB' и COB', проведенных к основанию OB', равно как и отношение площадей треугольников AOB и COB.

Таким образом, AB'/B'C = SAOB/SCOB.

Записав аналогичные равенства для отношений CA'/A'B и AC'/C'B и затем перемножив их всех, получим требуемое утверждение.

Обратная теорема.

Итак, допустим, у нас выбраны точки A', B', C' на сторонах треугольника и выполняется равенство из условия.
Пусть AA' и BB' пересекаются в точке О. Проведем прямую СО и пусть она пересекает сторону AB в некоторой точке C''. Тогда, согласно прямой теореме, у нас будет выполняться то самое огромное равенство, в котором вместо точки C' будет точка C''. Исходя из выполнения этих двух равенств - с точкой C'', как мы показали, и с точкой C' из условия обратной теоремы, делаем вывод, что точки C'' и C' совпадают.


Можно записать условие Чевы в форме синусов:

Это условие легко получить, применив теорему синусов к треугольникам ABA' и ACA'. Для них получаем A'B/AA'= sinBAA' /sinABA' и A'C/AA'=sinA'AC/sinA'CA. Разделив одно равенство на другое, получаем A'B/A'C=sinBAA' /sinA'AC * (sinBCA/sinABC )

Записав аналогичные равенство для остальных отрезков и перемножив их, получаем условие Чевы в форме синусов.



Согласно теореме Чевы, то, пересечение медиан треугольника в одной точке - доказывается в одну строчку.
Согласно теореме Чевы в форме синусов, пересечение биссектрис в одной точке доказывается в одну строчку.
А вот доказательство того, что высоты треугольника пересекаются в одной точке - это, согласно теореме Чевы в форме синусов, доказывается в две строчки. В первой строчке доказательства нам следует написать известное тригонометрическое тождество -
sin(90 - a) = cos a