Умение правильно ставить вопрос или плоды просвещения.

Порой неудачно поставленный вопрос портит всю красоту задачи. Для того, чтобы сиё громкое утверждение не было пустым звуком, предлагаю рассмотреть две очень похожие задачи.







Задача 1.
Доказать, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке.

Задача 2.
Доказать, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и эта точка делит их в отношении 3:1, считая от вершины.

Напомню, что медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противолежащей стороны.

Несмотря на то, что вторая задача просит доказать более сильное утверждение, решается она гораздо проще. Если неискушенному читателю придётся поломать голову над задачей 1, то задача 2 решается "в лоб" координатным методом. Просто обозначаем координаты вершин тетраэдра за (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3), (x4, y4, z4) и находим координаты точек, делящих каждую медиану в отношении 3:1. Это не трудно, благо медиана есть половина диагонали параллелограмма, построенного на двух сторонах треугольника. А потом с удивлением обнаруживаем, что для всех четырёх медиан эта точка имеет одни и те же координаты, следовательно, медианы тетраэдра пересекаются в одной точке.

Мораль сей сказки такова - граждане, при составлении красивой задачи, не вкладывайте лишней информации в вопрос :)